El teorema de Bayes y el ébola: una remedio contra otras patologías contagiosas

En 1763 se descubrió una de las vacunas más eficaces contra la mayoría de las enfermedades infecciosas. La cura del miedo no es otra que el teorema más famoso del matemático inglés Thomas Bayes, el cual lleva su nombre. Desde entonces, la inferencia bayesiana se ha aplicado a la bioestadística, y en espacial al diseño de políticas relacionadas con enfermedades infecciosas e incluso para trazar su origen.

La epidemia de ébola es un asunto serio y preocupante. Tanto, que deberíamos aplicar todo nuestro razonamiento para tratar de paliar la epidemia que se cobra miles de vidas en África. Por ejemplo, ¿es razonable poner en cuarentena a todo aquel pasajero que desembarque de un vuelo procedente de un país afectado por el contagio?

La alarma suscitada por el primer caso de ébola en Nueva York ha propiciado que varios estados Norteamericanos (Nueva York , Nueva Jersey e Illinois) decidieran poner en cuarentena obligatoria a todos los médicos el personal sanitario proveniente de África, con sus consiguientes críticas. Esta reacción solo es comparable a la de Corea del Norte, que ha decidido cerrar sus fronteras a todos los vuelos de África, y de paso a los de EEUU. Parece que algunos países necesitarían también la ayudas de los estadísticos sin fronteras.

Sin embargo, una enfermera americana tenía unas décimas de fiebre cuando aterrizó de un vuelo de África ha decido huir de su confinamiento obligatorio. Han saltado todas las alarmas posibles. En cambio Kaci Hickox, se pasea con su bicicleta feliz y sonriente. Es la sonrisa de quien conoce el teorema de Bayes: “No voy a quedarme aquí y dejar que se violen mis derechos civiles porque no hay base científica”

Realicemos algunas sencillas operaciones matemáticas y entenderemos mejor la sonrisa de la enfermera. Pongámonos en el supuesto más restrictivo y que los aeropuertos tuvieran acceso al test PCR para detectar el ébola. El test para detectar el ébola (PCR) acierta (da positivo) en el 99.6% de los pacientes que tienen ébola (positivo). El test también acierta en (da negativo) en el 99.7% de los pacientes que no tienen ébola. Digamos que un 0.2% de los pasajeros provenientes de África viajan infectados con el virus. Por tanto, ¿cuál es la probabilidad de tener ébela para una persona que ha dado positivo?

Visto lo visto, si fuéramos médicos (o incluso políticos) seguramente diríamos que más del 99% (22/24 de médicos fallaron la respuesta a una pregunta muy similar relacionada con el cáncer). Pero la enfermera Hickox no se saltó la clase de estadística el día que explicaron que la probabilidad a priori no es la misma que la conjunta. Es decir que no es lo mismo tener ébola y dar positivo que tener ébola cuando he dado positivo.

Si queremos averiguar qué porcentaje de viajeros tendrán ébola cuando den positivo utilizaremos la fórmula de Bayes:


P(\textbf{Ebola}|\textbf{Positivo}) = \frac{P(\textbf{Ebola})P(\textbf{Positivo} |\textbf{Ebola})}{P(\textbf{Positivo})},

donde P(\textbf{Ebola}|\textbf{Positivo}) es la probabilidad de estar realmente enfermo dado que he dado positivo, P(\textbf{Positivo} |\textbf{Ebola}) es la probabilidad de dar positivo cuando realmente se tiene ébola y   P(\textbf{Positivo}) es la probabilidad de dar positivo.

La probabilidad de dar positivo es la suma de todos los que dan positivo, contando los “falsos positivos”, aquellos que sin tener ébola dan positivo:

P(\textbf{Positivo})=P(\textbf{Ebola}|\textbf{Positivo})+P(\textbf{No Ebola}|\textbf{Positivo}),

y la probabilidad buscada es:

P(\textbf{Ebola}|\textbf{Positivo}) = \frac{\textbf{0.002*0.996}}{\textbf{0.002*0.996+0.998*0.003}}=0.40.

Por lo tanto, tan solo un 40% de los viajeros que den positivo por ébola en los aeropuertos tendrán realmente la enfermedad. Este porcentaje es muy distinto al 99%. Si en vez del test PCR se toma la temperatura, este porcentaje se reduce drásticamente. Además también habrá un número reducido de viajeros que darán negativo aun con el virus inoculado. Por tanto no tienen ningún sentido la cuarentena discrecional de todos los viajeros.

Afortunadamente un juez de Maine ha recuperado el sentido de la proporción y ha dado la razón a la enfermera Hickox apoyándose en razonamientos científicos. Desafortunadamente, el teorema de Bayes no ha conseguido prevenir  otras patologías contagiosas. La cuarentena “Gangnam Style” Norcoreana tan solo puede ocasionar más confusión y privar de atención médica a los países necesitados sin ninguna base razonada. Esperemos que los responsables de salud pública de nuestro país (incluso aquellos con la vida resuelta) se decanten más por Bayes que por los bailes coreanos.

 

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